Analisi I
Programma
Capitolo 1:
Concetti di base: numeri reali, funzioni, funzioni reali di variabile reale.
Gli insiemi numerici oggetto del corso: numeri naturali, interi relativi, razionali.
Operazioni sui numeri razionali, definite in modo intuitivo: addizione e moltiplicazione. Proprietà di queste operazioni.
Esistenza di un ordinamento.
Proprietà di densità dell’insieme dei numeri razionali. I numeri razionali non verificano la proprietà di completezza (con dimostrazione, cio`e dimostrando che non esiste nessun razionale il cui quadrato `e 2).
Definizione di numero reale.
Estensione all’insieme dei numeri reali delle operazioni di addizione e moltiplicazione, della proprietà di ordinamento e della proprietà di densità.
Valore assoluto di un numero reale, disuguaglianze triangolari del valore assoluto (senza dimostrazione).
Maggioranti e minoranti di un insieme di numeri reali.
Insiemi limitati e illimitati inferiormente e superiormente.
Massimo e minimo di un insieme.
Estremo inferiore e superiore di un insieme.
Definzione di intervallo di numeri reali. Intervalli limitati e illimitati, aperti e chiusi.
Proprietà di completezza dei numeri reali (senza dimostrazione ).
Radice ennesima di un numero reale.
Teorema sull’esistenza e unicità della radice ennesima positiva di un numero positivo (senza dimostrazione). Potenze a esponente reale: definizione intuitiva.
Proprietà di questa operazione. Logaritmi.
Teorema sull’esistenza e unicità del logaritmo di un numero positivo con base positiva diversa da 1 (senza dimostrazione). Proprietà dei logaritmi.
Fattoriale di un numero intero positivo.
Capitolo 2:
Successioni e serie numeriche.
Definizione di successione numerica. Successione convergente, divergente; limite di una successione. Successioni limitate.
Unicità del limite di una successione (con dimostrazione).
Successioni monotone e strettamente monotone (crescenti e decrescenti) Ogni successione monotona ammette limite (senza dimostrazione).
Una successione convergente `e limitata (con dimostrazione ).
Algebra dei limiti (dimostrazione per esercizio del caso della somma).
Studio delle forme indeterminate con l’introduzione dei numeri reali estesi.
Primo e secondo teorema di confronto per i limiti (senza dimostrazione).
Teorema della permanenza del segno (con dimostrazione). Il numero e.
Serie numeriche. Definizione.
Successione delle somme parziali.
Successioni convergenti, divergenti, irregolari.
Convergenza della serie geometrica (con dimostrazione).
Convergenza e divergenza delle serie armonica e armonica generalizzata (con dimostrazione basata sugli integrali impropri).
Serie di Mengoli (con dimostrazione).
Condizione necessaria per la convergenza di una serie (senza dimostrazione).
Criterio del confronto per serie a termini non negativi (con dimostrazione).
Criterio del confronto asintotico (senza dimostrazione).
Convergenza della somma di due serie (dimostrazione per esercizio).
Criteri della radice e del rapporto per serie a termini non negativi (senza dimostrazione). Criterio della convergenza assoluta e criterio di Leibniz per la convergenza di serie a segni alterni (senza dimostrazione).
Capitolo 3:
Funzioni numeriche, limiti, continuità.
Definizione di funzione reale di una variabile reale : dominio, codominio, immagine, prodotto cartesiano tra due insiemi e grafico di una funzione.
Funzioni simmetriche: pari e dispari. Funzioni limitate.
Definizioni di funzione crescente, strettamente crescente, decrescente, strettamente decrescente.
Funzioni monotone e strettamente monotone.
Esempi di funzioni: lineari, potenze, esponenziali, logaritmi.
Funzioni trigonometriche: proprietà elementari e funzioni trigonometriche inverse. Composizione di funzioni. Funzioni iniettive.
Funzione invertibile e funzione inversa.
Unicità della funzione inversa.
Topologia della retta reale.
Intorni di numeri reali.
Intorno di ±∞.
Punto interno a un insieme.
Definizione di limite di una funzione.
Teorema di unicità del limite (dimostrazione per esercizio).
Limiti destro e sinistro.
Teorema di esistenza del limite nel caso di esistenza dei limiti destro e sinistro (dimostrazione per esercizio).
Teorema della permanenza del segno (senza dimostrazione). Teorema del confronto fra limiti (senza dimostrazione).
Algebra dei limiti. Comportamento del limite di: somma di funzioni (dimostrazione per esercizio), prodotto e rapporto di funzioni (senza dimostrazione). Teorema di esistenza del limite per funzioni monotone (senza dimostrazione). Limiti notevoli: potenze, esponenziali, logaritmi.
Definizione di funzione continua.
Punti di discontinuità. Continuità di alcune funzioni elementari: polinomi, potenze a esponente reale, trigonomentriche, esponenziali, logaritmiche.
Prolungamento continuo di una funzione.
Algebra delle funzioni continue: continuità di somma, prodotto, quoziente di funzioni continue. Continuità delle funzioni polinomiali, esponenziali, trigonometriche (con dimostrazione). Continuità delle potenze (senza dimostrazione).
Teorema della permanenza del segno (con dimostrazione).
Continuità della composizione di funzioni continue (con dimostrazione).
Teorema degli zeri per le funzioni continue (con dimostrazione).
Teorema di Weierstrass sull’esistenza dei massimi e minimi per funzioni continue (senza dimostrazione). Teorema dei valori intermedi (con dimostrazione).
Teoremi di collegamento fra invertibilità, monotonia e continuità (senza dimostrazione). Continuità della funzione logaritmo (con dimostrazione).
Capitolo 4:
Calcolo differenziale per funzioni reali di una variabile reale.
Rette secanti al grafico di una funzione.
Rapporto incrementale di una funzione.
Definizione di funzione derivabile e di derivata di una funzione.
Definizione di retta tangente.
Significato geometrico della retta tangente e della derivata.
Derivata destra e sinistra.
Migliore approssimazione lineare di una funzione.
Teorema di collegamento fra continuità e derivabilità (con dimostrazione).
Algebra delle derivate: derivazione di somma (con dimostrazione), prodotto (con dimostrazione), rapporti di funzioni (senza dimostrazione).
Alcune derivate di funzioni elementari: costanti, polinomi (con dimostrazione); potenze (senza dimostrazione); derivazione della funzione esponenziale (con dimostrazione); derivazione delle funzioni trigonometriche seno (con dimostrazione) e coseno (dimostrazione per eser- cizio).
Derivazione di una composizione di funzioni (solo l’idea della dimostrazione).
Derivazione della funzione inversa (con dimostrazione).
Applicazione al calcolo della derivata delle funzioni logaritmo e arcotangente (con dimostrazione).
Punti di massimo e di minimo assoluti e relativi di una funzione.
Primo teorema di collegamento fra massimi, minimi e derivate (con dimostrazione).
Teorema di Fermat (con dimostrazione).
Teorema del valor medio (detto anche Teorema di Lagrange) (con dimostrazione).
Relazioni tra monotonia e derivata di una funzione (con dimostrazione).
Metodi per la ricerca dei punti di massimo e minimo di una funzione.
Definizioni di funzione convessa e funzione concava.
Definizione di asintoto destro e sinistro di una funzione.
Metodo per la loro determinazione (con dimostrazione).
Teoremi di De L’Hospital (senza dimostrazione).
Derivate di ordine superiore e definizione di funzione Cn e C∞.
Polinomio di Taylor.
Teorema di esistenza e unicità dello sviluppo di Taylor di una funzione (con dimostrazione nel caso dello sviluppo del primo e secondo ordine).
Resto nella forma di Peano.
Definizione di o piccolo e di funzione infinitesima.
Algebra degli o piccoli (dimostrazione per esercizio).
Sviluppi di alcune funzioni elementari.
Sviluppi di funzioni composte.
Formula di Taylor con resto nella forma di Lagrange (senza dimostrazione).
Applicazione al calcolo approssimato di quantità irrazionali (per esempio il numero e.)
Capitolo 5:
Calcolo integrale per funzioni reali di una variabile reale.
Integrale di Riemann.
Partizioni di un intervallo limitato; partizioni puntate.
Definizione di funzione integrabile secondo Riemann e di integrale di una funzione.
Insiemi trascurabili.
Criteri generale e parziale di integrabilità (senza dimostrazione).
Algebra delle funzioni integrabili (dimostrazione per esercizio dei casi più facili).
Teorema della media integrale (con dimostrazione).
Teorema fondamentale del calcolo integrale (con dimostrazione).
Funzioni integrali.
Formula fondamentale del calcolo integrale (con dimostrazione).
Definizione di primitiva e integrale indefinito.
Caratterizzazione delle primitive di una funzione (con dimostrazione).
Ricerca di primitive: integrazione di funzioni razionali fratte, integrazione per parti, per sostituzione.
Calcolo di integrali definiti.
Integrali impropri.
Integrale improprio delle funzioni potenza (con dimostrazione).
Testo di riferimento: M. Bramanti, C. Pagani, S. Salsa: Matematica - Calcolo infinitesimale e algebra lineare, Zanichelli, Bologna, 2004.
Vengono ora riportati tutta una serie di documenti utili per lo studio:
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➡ Registri completi di Analisi matematica 1 in riferimento al programma sopra citato