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Analisi II

Programma di analisi Due :

Numeri complessi
Forma cartesiana dei numeri complessi. Forma trigonometrica dei numeri complessi. Potenza n-esima di un numero complesso. Radice n-esima di un numero complesso. Forma esponenziale dei numeri complessi.

Funzioni reali di più variabili reali
Elementi di topologia in R^n (intorni di un punto, punti di accumulazione, punti di frontiera, insiemi chiusi, insiemi aperti). Continuità di una funzione in un punto. Funzioni continue (in tutti i punti del dominio). Teorema di continuità delle funzioni combinate (sd). Concetto di limite per funzioni di più variabili. Limite direzionale. Legame tra continuità e limite. Concetto di funzione parziale. Derivate parziali. Derivate parziali di ordine superiore. Funzioni di classe C^n (e C^\infty). Teorema di regolarità delle funzioni combinate (fac). Derivate direzionali. Gradiente di una funzione reale. Derivata di una funzione composta. Matrice jacobiana. Massimi e minimi relativi e assoluti. Teorema di Fermat in R^n (condizione necessaria per i punti estremanti). Formula di Taylor del secondo ordine per le funzioni di due variabili. Differenziale di una funzione reale. Differenziale secondo. Forme quadratiche. Funzioni convesse. Matrice hessiana e condizione sufficiente per i punti estremanti (in R^2). Insiemi compatti e Teorema di Weierstrass (sd). Insiemi connessi e Teorema dei valori intermedi (fac). Funzioni implicite. Teorema della funzione implicita (sd). Varietà di livello regolari. Massimi e minimi condizionati. Metodo dei moltiplicatori di Lagrange (fac)

Forme differenziali e campi vettoriali Espressioni differenziali (reali di grado uno). Operazioni con le espressioni differenziali. Un'importante espressione differenziale (di grado uno): l'elemento di lunghezza d'arco ds. Forme differenziali (come particolari espressioni differenziali) . Rappresentazione delle forme differenziali in R^2. Forme esatte e forme chiuse. Condizione necessaria per l'esattezza di una forma differenziale. Insiemi semplicemente connessi (in R^2 e in R^3). Condizione sufficiente per l'esattezza di una forma chiusa. Campi vettoriali in R^2 e in R^3. Campi conservativi e campi irrotazionali. Parallelismo tra le forme differenziali e campi vettoriali (concetti corrispondenti).

Integrali multipli Integrale doppio in un rettangolo (secondo Cauchy-Riemann). Insiemi trascurabili in R^2 e condizione necessaria e sufficiente per l'integrabilità (sd). Teorema di Fubini in un rettangolo (sd). Integrale in un insieme limitato di R^2. Formule di riduzione deducibili dal Teorema di Fubini. Area di un insieme limitato. Proprietà degli integrali doppi (linearità, monotonia, additività rispetto all'insieme di integrazione). Primo teorema della media per gli integrali doppi. Secondo teorema della media per gli integrali doppi (fac). Integrali tripli in un parallelepipedo. Insiemi trascurabili in R^3 e condizione necessaria e sufficiente per l'integrabilità (sd). Teorema di Fubini in un parallelepipedo (sd). Integrale in un insieme limitato di R^3. Formule di riduzione deducibili dal Teorema di Fubini (formula delle fette, formula degli spaghetti). Volume di un insieme limitato.Formula di cambiamento di variabili (sd). Applicazioni degli integrali multipli al calcolo dei centri di massa e dei momenti d'inerzia. Teorema di Pappo per i solidi di rotazione (fac).

Integrali curvilinei Curve parametriche e loro classificazione (chiuse, semplici, ecc.). Integrali curvilinei di espressioni differenziali. Integrali curvilinei orientati: di forme differenziali (o di campi vettoriali). Integrali curvilinei non orientati: rispetto alla lunghezza d'arco. Lunghezza di una curva parametrica. Archi di curva regolari (come sostegno). Integrali curvilinei, orientati e non orientati, lungo archi di curva regolari. Teorema di indipendenza dalla parametrizzazione (per gli integrali orientati (sd). Teorema di indipendenza dalla parametrizzazione (per gli integrali non orientati (sd). Primo teorema della media per gli integrali curvilinei (non orientati). Baricentro e momento d'inerzia di un filo. Formula fondamentale per gli integrali curvilinei (orientati). Esempio di forma differenziale chiusa non esatta. Condizione necessaria e sufficiente affinchè una forma differenziale sia esatta (sd).

Equazioni differenziali ordinarie Equazioni del primo ordine. Equazioni di ordine n. Definizione formale di soluzione. Equazioni lineari. Soluzioni massimali (non prolungabili). Problema di Cauchy. Teorema di esistenza di Peano (sd). Teorema di esistenza e unicità (sd). Equazioni a variabili separabili. Integrazione delle equazioni lineari del primo ordine. Funzioni linearmente indipendenti. Integrazione delle equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti. Metodi pratici per la determinazione di una soluzione particolare delle equazioni lineari non omogenee.

Appendice (fac) Curve di Jordan. Teorema di Jordan. Formule di Gauss-Green nel piano. Area di un insieme piano come integrale curvilineo sulla frontiera. Teorema di Pappo per le superfici di rotazione. Espressioni differenziali di grado 2. Superfici parametriche. Placche di superficie. Area di una placca. Orientazione di una placca. Flusso di un campo vettoriale attraverso una placca orientata. Divergenza di un campo vettoriale. Rotore di un campo vettoriale. Teorema della divergenza (di Gauss). Teorema della circuitazione (di Stokes).


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